Méthodes mathématiques pour la physique
Objectif : Acquérir les outils et les méthodes mathématiques essentiels pour l'étude des phénomènes ondulatoires et corpusculaires, la théorie quantique, la physique subatomique, atomique et moléculaire, ainsi que la physique de la matière condensée.
Programme :
* Introduction aux espaces de Hilbert :
- Espaces de Hilbert
- Opérateurs dans un espace de Hilbert
- Lien entre notations mathématiques et notations de Dirac
* Transformations de Fourier des fonctions :
- Transformation de Fourier dans les espaces L1, L2 et S
- Transformation de Fourier et convolution
- Transformation de Fourier et limite de suite de fonctions
- Applications (inégalités d'incertitude, équations différentielles)
* Introduction à la théorie des distributions :
- Distributions et dérivation des distributions
- Convolution des distributions
- La distribution de Dirac comme limite d'une suite de distributions
- Transformations de Laplace et de Fourier des distributions
* équations différentielles et équations aux dérivées partielles :
- Zoologie de quelques équations (linéaires et non linéaires) de la physique
- Quelques éléments sur la méthode de séparation des variables
- L'équation y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0
- L'équation y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)
* équation différentielle de Bessel et fonctions de Bessel :
- équation différentielle de Bessel - Fonctions de Bessel
* Polynômes orthogonaux :
- Polynômes de Legendre (traités en détail)
- Polynômes de Jacobi, d'Hermite et de Laguerre (traités par analogie sous forme de tableau distribué)
* Fonction de la variable complexe :
- Fonctions usuelles (exponentielle, lignes sphériques et hyperboliques, logarithme, puissance)
- Continuité et dérivation :
- Intégration
- Méthode des résidus
* Théorie des probabilités :
- Densités de probabilité et coefficient de corrélation
