Rappels sur la dénombrabilité et opérations sur les ensembles. Notion de limsup et liminf.
Clans, tribus, classes monotones. Structures engendrées. Tribu borélienne. Théorème de la classe monotone.
Fonctions étagées, mesurables, boréliennes. Opérations avec les fonctions mesurables.
Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, unicité de la mesure de Lebesgue (existence admise). Mesures finies et sigma-finies. Tribus et mesures complétées. Presque partout, ensembles négligeables.
Intégrale. Lien avec l’intégrale de Riemann et avec les séries.
Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée. Réciproque du théorème de convergence dominée. Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.
Tribu produit. Mesure produit. Théorèmes de Tonelli et Fubini. Complétion des tribus et mesures produit (admis).
Changement de variables (preuve dans le cas linéaire et en dimension un).
Espaces Lp : définition, inégalités de Hölder et Minkowski, complétude, structure hilbertienne de L2.
Convolution. Noyau régularisant. Régularisation par convolution. Sous-espaces denses de L^p(R^n). Existence de fonctions plateau.
Séries de Fourier. Théorèmes de Dirichlet et Fejér. Théorèmes de Fatou et Riesz-Fischer. Identité de Parseval, inégalité de Bessel. Théorème d'approximation de Weierstrass.
Transformée de Fourier dans L1. Lemme de Riemann-Lebesgue, formule d'inversion. Transformée de Fourier dans L2 : théorème de Plancherel, formule d'inversion.
