Dualité et formes quadratiques. Transposée d’une application linéaire, orthogonal d’un sous-espace vectoriel. Formes bilinéaires symétriques, matrice associée, formes quadratiques (en caractéristique différente de 2). Cas réel : signature, théorème de Sylvester. Réduction de Gauss, rang.
Anneaux et corps. Anneaux commutatifs unitaires, anneaux intègres, corps (exemples : Q, R, C, Z/pZ). Idéaux, idéaux maximaux, anneaux quotients. Anneaux de polynômes sur un corps, racines, nombres algébriques, polynôme minimal, degré́. Extension de corps, corps de rupture, corps de décomposition. Applications : corps finis, construction à la règle et au compas.
Géométrie. Espaces affines, barycentres, groupe affine. Espaces projectifs P(E) (E R−espace vectoriel de dimension finie principalement 3), sous-espaces projectifs, action de PGL(E), cartes affines, coordonnées homogènes, dualité projective. Théorème de Desargues, coniques du plan affine.
