Produit scalaire. Espace préhilbertien, espace euclidien. Norme associée à un produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
Orthogonalité. Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’une partie. Familles orthogonales, familles orthonormales. Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Bases orthonormales : existence dans un espace euclidien, expression d’une produit scalaire et de la norme. Produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension 3.
Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Supplémentaire orthogonal. Projection orthogonale : expression dans une base orthonormale. Distance d’un vecteur à un sous-espace.
Hyperplans affines d’un espace euclidien. Vecteur normal à un hyperplan affine. Équation d’un hyperplan affine dans un repère orthonormal, exemple dans R2 et R3.
Isométries vectorielles d’un espace euclidien. Définition, image d’une base orthonormale. Symétries orthogonales, réflexion, O(E). Matrices orthogonales, On(R), SOn(R). Exemples des dimensions 2 et 3.
Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien.
Séries de Fourier. (on se limitera au cas réel). Coefficients de Fourier, théorème de convergence pour les fonctions C1, égalité de Parseval.
